为什么黄金分割是最美的？依据是什么？

因为黄金分割对应的是最简单的continued fraction，美感来自于这个“最”字。

看了一圈，没有人从数学表达式本身来讨论黄金分割，都是从自然界出发。

然而，要讨论美，就要尽量避开自然界，因为美学本身高于自然，依托于自然界的美，无法做到在所有可能的宇宙中都普适。

要发现数学的美，我们首先要选取一个好的定义，也就是看问题的角度。

黄金分割可以从几何的角度来看，也可以从序列的角度来看，但是个人认为，最好的角度还是用连分数（continued fraction）。

先简单介绍一下连分数是什么。我们一般习惯的都是基于小数的表达，就拿黄金分割来说，我们往往用1.618...这种小数形式。在这种角度下，黄金分割没有任何规律可言。

而连分数采用的是这样的形式：

我们所熟悉的小数形式的表达跟连分数形式的表达是等价的，然而神奇之处就在于：虽然等价，看上去没有区别，但连分数的形式可以更好体现出黄金分割的美感。

黄金分割的连分数表达是什么？

清一色的1，可以说是最为简单的连分数，而正因如此，才有了这一数学表达式本身的美感，不依托任何自然界的例子。

有没有感觉有点眼熟？我们可以再看一个类似的例子：为什么自然底数e如此有美感？我们可以说因为e的内蕴性质：$e^x$是differential operator的不动点。但是更加表面的一个原因，其实就是：在infinite series的表达中，极其有规律

这种换了一个角度就突然发现规律的情况，有点类似坐标系的概念：在一个坐标系里有可能看上去毫无规律可言的东西，换了一个坐标系，就豁然开朗。

这就导致了很多时候，数学其实就是文字游戏：为什么一个东西性质好？因为我们故意选了一个好的“视角”，强行让它性质好。

但是仔细想想，这不仅跟美没有冲突，反而非常般配：美的定义也是一个纯粹精神的构造，正因如此，美才能凌驾于现实世界之上。