音乐中的群论之二 - 循环群与五度圈

在调性音乐中，五度圈是最为基本的一个概念之一。我们最开始接触五度圈就是在认识调号的时候：不论升降，每增加一个调号，新的调号都在五度之外。更准确地说：

既然音乐意义上五度圈如此重要，我们自然而然要问的就是：为什么？

我们可以从数学的角度来解答这个问题。

从上一篇文章“用python告诉你为什么十二平均律有12个音”中我们了解到，一个八度中有12个音。

我们可以将一个八度的12个音看做一个时钟，然后我们就有了如下的音程表：

其中，五度圈对应的纯五度对应的是7。

数学部分

现在开始数学部分。

八度跟时钟一样，一个特点就是每隔12步就会回到原点，也就是说：

$$ x + 12 = x $$

这被称为模运算(modular arithmetic)，其背后的原理就是小学学的余数。也就是说，我们可以将12音组成的八度看做一个$n=12$的整数模。

从群论的角度来说，整数模是循环群(cyclic group)的一个例子。

循环群的特点就是我们可以找到被称作“生成器”(generator)的元素，生成器可以靠一己之力生成整个群。

举个例子，回到我们$n=12$的整数模，我们有12个元素：

$$ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\} $$

其中，1就是一个最明显的生成器：

并不是每个数都是生成器。作为反例，我们可以考虑6这个数：

我们会发现，6能生成的元素只有2个：0和6，而其他的数比如7，则“鞭长莫及”。

一个很自然的问题就是：是否存在另外的生成器？

答案就是今天的话题：五度圈就是另外的一个生成器。也就是说，7是$n=12$的整数模的生成器之一。

为什么是这样？这里我们要用到群论中的一个定理：假设$a$是一个大小为$n$的循环群的生成器，那么$a^k$是生成器当且仅当$k$跟$n$互质（$k,n$互质指的就是最大公约数为1，$\gcd(k,n) = 1$）。详细的证明请参见文末的引用。

在上文中，$a^k$的意思是：

$$ a^k = \underbrace{a \ast a \ast ... \ast a}_{k个a} $$

因为我们面对的是一个加法群，其中的二元运算$\ast$其实就是加号$+$。所以在本文中，$a^k$并不是我们所熟悉的“次方”的概念，而应该是“乘法”。上文的定理翻译到$\mathbb Z_{12}$的加法群上则是：

假设$a$是$\mathbb Z_{12}$的生成器，那么$a\times k$是生成器当且仅当$k$跟$n$互质。

上面我们说过，1是一个显而易见的生成器，那么另外的生成器则是所有的$1 \times k = k$，且$k$跟$12$互质。简而言之就是找出所有跟12互质的数。

这样子就简单了。所有跟12互质的数总共也就下面几个：

而乐理的附加性质告诉我们，小二度跟大七度没有区别，纯四度跟纯五度没有区别（互为转位）。

回到音乐

翻译回音乐中，我们找到了一个很明显却往往不会意识到的特性：用五度圈，我们可以覆盖到所有12个音。

这个音乐的特性非常重要：其他的音程，例如增四度，不论是向上还是向下，走两步就回到了原点，无法“生成”所有的12个音。

这就是五度圈的数学本质：12音平均律是一个循环群，而五度圈有能力生成一整个群。这一性质在数学中其他地方也随处可见，比如线性代数中的“最小生成集合”（minimal spanning set）。

参考